题目内容

在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，P在△ABC内的射影为O.试用向量法证明O为△ABC的垂心.

证明：如图,设=a,=b,=c.?

∵PA,PB,PC两两互相垂直,?

∴a·b=0，b·c=0，c·a=0.?

又PO⊥平面ABC,?

∴PO⊥AB,?

∴=0，?

又=-=b-a，?

∴=（b-a）·c=b·c-a·c=0.?

又∵=-,?

∴·=（-）=-=0，∴AB⊥CO.?

同理可证AO⊥BC,BO⊥AC,?

∴O为△ABC的垂心.


练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2
34
．F是线段PB上一点，CF=
15
17
34
，点E在线段AB上，且EF⊥PB．
（1）证明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的大小．
精英家教网在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则
1
h
2
1
=
1
CA2
+
1
CB2
；类比此性质，如图，在四面体P-ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为
 
．
在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，类比这一结论，推广到空间：在四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S1、S2、S3，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=
S1cosα+S2cosβ+S3cosγ
S1cosα+S2cosβ+S3cosγ
．
在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则
1
h
2
1
=
1
|CA|2
+
1
|CB|2
；
类比此性质，如图，在四面体P-ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，
底面ABC上的高为h，则得到的一个正确结论是
1
h2
=
1
|PA|2
+
1
|PB|2
+
1
|PC|2
1
h2
=
1
|PA|2
+
1
|PB|2
+
1
|PC|2
．
已知在四面体P-ABC中，对棱相互垂直，则点P在平面ABC上的射影为△ABC的（　　）

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