Question

正四面体ABCD，棱长为1米，一条虫子从顶点A开始爬行，在每一顶点，它等可能选择三棱之一，沿这棱到其它顶点，记a_n是虫子从A开始爬行了n米回到A的概率，则a₃=______；通项公式a_n=______．（n=0，1，2，…）

Answer 1

小虫从点A出发，一共分3步走，假设第一步到B，则第二部有三种走法，若回到A，则第三步都回不到A，若第二部不到A，可以到C或D，到达下一个顶点后又有三种走法，只有一种能回到A．其它类同．
所以虫子从A开始爬行了3米回到A的概率为a₃=

2

9

；
n=4：（若第三次爬回去，则第四次就不能会到A）
a4=

1

3

(1-a3)=

1

3

(1-

2

9

)=

7

27

．
n=5：（若第四次爬回去，则第五次就不能会到A）
a5=

1

3

(1-a4)=

1

3

(1-

7

27

)=

20

81

．
…
所以an=

1

3

(1-an-1)=

1

3

(1-

1

4

-

1

4•3n-2

)

=

1

4

+(-

1

3

)n

3

4

．故答案为

2

9

，

1

4

+(-

1

3

)n

3

4

．