Question

（2012•广元三模）已知正四面体ABCD的棱长为1，球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，则球O的表面积为（　　）

• A．4π
• B．2π
• C．

  π

  2

• D．

  π

  4

Answer 1

分析：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，可得球O是正方体的内切球，从而可求球O的表面积．

解答：解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线
∵正四面体ABCD的棱长为1
∴正方体的棱长为

2

2

∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，
∴球O是正方体的内切球，其直径为

2

2

∴球O的表面积为4π×(

2

4

)2=

π

2

故选C

点评：本题考查球的表面积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，使得球O是正方体的内切球．