Question

设函数fn(x)=-2n+

2

x

+

22

x2

+…+

2n

xn

．
（1）求函数f₂（x）在

1，2

上的值域；
（2）证明对于每一个n∈N^*，在

1，2

上存在唯一的x_n，使得f_n（x_n）=0；
（3）求f₁（a）+f₂（a）+…+f_n（a）的值．

Answer 1

（1）f2(x)=-4+

2

x

+

4

x2

，
由x∈

1，2

，令t=

1

x

∈

1 2 ，1

，则y=4t²+2t-4．
对称轴t=-

1

4

，∴y=4t²+2t-4在

1 2 ，1

上单调递增，∴f₂（x）在

1，2

上的值域为

-2．2

．…（4分）
（2）证明：∵对于1≤x₁＜x₂≤2，m∈N^*有1≤

x

m1

＜

x

m2

，

1

x m2

＜

1

x m1

，从而

2m

x m2

＜

2m

x m1

，∴y=

2m

xm

，m∈N^*，在x∈

1，2

上单调递减，
∴fn(x)=-2n+

2

x

+

22

x2

+…+

2n

xn

，在x∈

1，2

上单调递减．
又fn(1)=-2n+2+22+…+2n=2n-2≥0，fn(2)=-2n+n．…（7分）
当n≥2时，fn(2)=-2n+n=-(1+1)n+n=-

C

0n

-

C

1n

-

C

2n

-…-

C

nn

+n＜0，
又f₁（2）=-2+1=-1＜0，即对于任意自然数n有fn(2)=-2n+n＜0，
∴对于每一个n∈N^*，存在唯一的xn∈

1，2

，使得f_n（x_n）=0…（11分）
（3）fm(a)=-2m+

2

a

+

22

a2

+…+

2m

am

．
当a=2时，fm(a)=-2m+m，∴f1(a)+f2(a)+…+fn(a)=-2n+1+

n(n+1)

2

+2．…（14分）
当a≠2且a≠0时，fm(a)=-2m+

2

a

+

22

a2

+…+

2m

am

=-2m+

2 a [1-( 2 a )m]

1- 2 a

．
∴f1(a)+f2(a)+…+fn(a)=-2n+1+2+

2n

a-2

-

4

(a-2)2

+

2n+2

(a-2)2an

…（18分）