Question

椭圆C：的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明为定值，并求这个定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：依题意得…（3分）
解得，故椭圆C的方程为． …（5分）
（Ⅱ）证明：依题意可设直线l的方程为x=ky+4…（6分）
由，消去x可得（4k²+5）y²+32ky+44=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（0，y₃），则…（8分）
又由直线l的方程x=ky+4知
由三角形的相似比得
注意到y₁y₂＞0，
∴|y₁|+|y₂|=|y₁+y₂|
∴
故为定值． …（12分）
分析：（Ⅰ）利用椭圆的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，可得一元二次方程，利用韦达定理，及三角形的相似比，即可证得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，正确表示比值是关键．