Question

（2013•临沂二模）

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为

3

2

，点A是椭圆上任一点，△AF₁F₂的周长为4+2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记

MQ

=λ

QN

，若在线段MN上取一点R，使得

MR

=-λ

RN

，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的定义、e=

c

a

及b²=a²-c²即可解出；
（II）由题意知，直线l的斜率必存在，设其方程为y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量

MQ

=λ

QN

，

MR

=-λ

RN

，即可得出坐标之间的关系，消去λ及k即可得出结论．

解答：解（Ⅰ）∵△AF₁F₂的周长为4+2

3

，
∴2a+2c=4+2

3

，即a+c=2+

3

．
又e=

c

a

=

3

2

，解得a=2，c=

3

，b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，
设其方程为y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

y=k(x+4) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+32k²x+64k²-4=0．
由题意△=（32k²）²-4（1+4k²）（64k²-4）＞0，即12k²-1＜0．
则x1+x2=

-32k2

1+4k2

，x1x2=

64k2-4

1+4k2

．
由

MQ

=λ

QN

，得（-4-x₁，-y₁）=（x₂+4，y₂），
∴-4-x₁=λ（x₂+4），∴λ=

x1+4

x2+4

．
设点R的坐标为（x₀，y₀），由

MR

=-λ

RN

，
得（x₀-x₁，y₀-y₁）=-λ（x₂-x₀，y₂-y₀），
∴x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），
解得x0=

x1-λx2

1-λ

=

x1+ x1+4 x2+4 •x2

1+ x1+4 x2+4

=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

，
而2x₁x₂+4（x₁+x₂）=2×

64k2-4

1+4k2

+4×

-32k2

1+4k2

=-

8

1+4k2

，
(x1+x2)+8=

-32k2

1+4k2

+8=

8

1+4k2

，
∴x0=

- 8 1+4k2

8 1+4k2

=-1，
故点R在定直线x=-1上．

点评：本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．