Question

已知a，b∈R⁺且a²-ab+b²=a+b，求证：1＜a+b≤4．

Answer 1

分析：利用a²+b²-ab＜（a+b）²，可证a+b＞1，利用基本不等式，可证a+b≤4．

解答：证明：∵a²+b²-ab＜（a+b）²
∴（a+b）＜（a+b）²
∵a，b∈R⁺，
∴a+b＞1
又∵a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3×

(a+b)2

4

=

(a+b)2

4

∴a+b≥

(a+b)2

4

∴0＜a+b≤4
综上：1＜a+b≤4

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．