题目内容

求曲线y=
x
（0≤x≤4）上的一条切线，使此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=
x
所围成的平面图形的面积最小．
设（x0，y0）为曲线y=
x
（0≤x≤4）上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y-y0=
1
2
x0
(x-x0)即y=
y0
2
+
x
2
x0
．
得其与x=0，x=4的交点分别为(0，
y0
2
)，(4，
y0
2
+
2
y0
)
于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=
x
所围的平面图形面积为：S=
∫40
(
y0
2
+
x
2
x0
-
x
)dx=2y0+
4
x0
-
16
3
=2
x0
+
4
x0
-
16
3

应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．
即所求切线即为：y=
x
2
2
+
2
2
．
练习册系列答案
相关题目
设连续函数f（x）＞0，则当a＜b时，定积分
∫ba
f(x)dx的符号（　　）
A．一定是正的
B．一定是负的
C．当0＜a＜b时是正的，当a＜b＜0时是负的
D．以上结论都不对
已知函数f（x）=3x2+2x+1，若
∫1-1
f(x)dx=2f(a)（a＞0）成立，则a=______．
如图中阴影部分的面积是（　　）
A．2
3
B．9-2
3
C．
32
3
D．
35
3
已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=
1
f′(x)
+af′(x)（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=
2
3
x+
7
6
与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．
求由抛物线y2=8x（y＞0）与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积．
由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=
π
2
围成区域的面积为______．
下列能正确表示第一象限角的范围的是（　　）
A．(2kπ，2kπ+
π
2
)，k∈Z		B．(kπ，kπ+
π
2
)，k∈Z
C．[2kπ，2kπ+
π
2
]，k∈Z		D．[kπ，kπ+
π
2
]，k∈Z
与60°角终边相同的角的集合可以表示为(   )
A．{α|α=k·360°+，k∈Z}
B．{α|α=2kπ+60°，k∈Z}
C．{α|α=k·180°+60°，k∈Z}
D．{α|α=2kπ+，k∈Z}

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