Question

一整数数列b₁,b₂,b₃,…,b_n满足b_n=b_n-1-b_n-2(n≥3),若前2 000项之和为1 999.

(1)求前2 006项之和;

(2)若b₁=666,求前2 008项之和.

Answer 1

解:(1)除题设的递推式b_n=b_n-1-b_n-2这一条件外,仅凭观察发现不了与解题相关的信息,为了寻求数列项与项之间的内在联系,我们由条件做些实验:

b₁，b₂,b₃=b₂-b₁,b₄=b₃-b₂=(b₂-b₁)-b₂=-b₁(这里出现了第一个规律);

b₅=b₄-b₃=-b₁-(b₂-b₁)=-b₂(这里出现了第二个规律);

b₆=b₅-b₄=-b₂-(-b₁)=-(b₂-b₁)=-b₃(这里出现了第三个规律,从而还出现了一个更为重要的规律:b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆=0);

b₇=b₆-b₅=-b₃-(-b₂)=b₁(发现了一个规律);

b₈=b₇-b₆=b₁-(-b₃)=b₂(发现了一个规律).

    不但如此,我们还发现此数列出现了周期现象,周期T=6,即b_n+6=b_n,

    而且b_n+b_n+1+b_n+2+b_n+3+b_n+4+b_n+5=0,

∵2 006÷6余2,且数列的任意相邻六项之和均为零,∴S_{2 006}=S₂.

    而2 000÷6余2,∴S_{2 000}=S₂.故S_{2 006}=S_{2 000}=1 999.

(2)解出了第(1)题,第(2)题便容易了.

∵2 008÷6余4,∴S_{2 008}=S₄.

    又b₁=666,b₁+b₂=1 999,∴b₂=1 333.从而b₃=b₂-b₁=1 333-666=667,

    而S₄=b₁+b₂+b₃+b₄=b₁+b₂+b₃+(-b₁)=b₂+b₃=1 333+667=2 000.∴S_{2 008}=2000.