Question

（2013•昌平区一模）已知每项均是正整数的数列a₁，a₂，a₃，…a₁₀₀，其中等于i的项有k_i个（i=1，2，3…），设b_j=k₁+k₂+…+k_j（j=1，2，3…），g（m）=b₁+b₂+…+b_m-100m（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）设数列k₁=40，k₂=30，k₃=20，k₄=10，k₅=…=k₁₀₀=0，
①求g（1），g（2），g（3），g（4）；
②求a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀的值；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃，…a₁₀₀中最大的项为50，比较g（m），g（m+1）的大小．

Answer 1

分析：（I）①因为数列k₁，k₂，k₃，k₄的值已知，所以b₁，b₂，b₃，b₄由公式b_j=k₁+k₂+…k_j（j=1，2，3…）求得，所以g（1），g（2），g（3），g（4）由公式g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m（m=1，2，3…）求得；
②a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=40×1+30×2+20×3+10×4=200；
（II）由题意，g（m）=b₁+b₂+…b_m-100m，g（m+1）=b₁+b₂+…b_m+b_m+1-100（m+1），作差比较，得g（m+1）-g（m）=b_m+1-100，由b_j的含义，知b_m+1≤100，故得g（m+1），g（m）的大小，又a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的项为50，知当m≥50时b_m=100，所以，当1＜m＜49时，有g（m）＞g（m+1）；当m≥49时，有g（m）=g（m+1）；

解答：解：（I）①因为数列k₁=40，k₂=30，k₃=20，k₄=10，所以b₁=40，b₂=70，b₃=90，b₄=100，
所以：g（1）=-60，g（2）=-90，g（3）=-100，g（4）=-100；
②a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=40×1+30×2+20×3+10×4=200；
（II）一方面，g（m+1）-g（m）=b_m+1-100，根据b_j的含义，知b_m+1≤100，
故g（m+1）-g（m）≤0，即g（m）≥g（m+1），
当且仅当b_m+1=100时取等号．
因为a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀中最大的项为50，所以当m≥50时必有b_m=100，
所以g（1）＞g（2）＞…＞g（49）=g（50）=g（51）=…
即当1＜m＜49时，有g（m）＞g（m+1）；
当m≥49时，有g（m）=g（m+1）．

点评：本题考查了数列知识的综合应用，解题时要认真审题，弄清题目中所给的条件是什么，细心解答，这样才不会出现错误．