Question

（2012•杨浦区一模）已知函数f（x）=

3x

2x+3

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列{{

1

an

}是等差数列．
（3）设数列{b_n}满足b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若Sn＜

m-2012

2

对一切n∈N^*成立，求最小正整数m的值．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，an+1=f(an)=

3an

2an+3

，分别令n=1，2，3，能够求出a₂，a₃，a₄．
（2）由an+1=f(an)=

3an

2an+3

，得

1

an+1

-

1

an

=

2

3

，由此能够证明{

1

an

}是等差数列．
（3）由

1

an

=

2n+1

3

，得到an=

3

2n+1

，故b_n=a_n-1a_n=

9

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项求和法得到S_n=

9

2

(1-

1

2n+1

)，由此能够求出Sn＜

m-2012

2

对一切n∈N^*成立时最小正整数m的值．

解答：（1）解：由a₁=1，an+1=f(an)=

3an

2an+3

，
得a₂=

3×1

2×1+3

=

3

5

，
a₃=

3× 3 5

2× 3 5 +3

=

3

7

，
a₄=

3× 3 7

2× 3 7 +3

=

1

3

．…（3分）
（2）证明：由an+1=f(an)=

3an

2an+3

，
得

1

an+1

-

1

an

=

2

3

，…（8分）
所以，{

1

an

}是首项为1，公差为

2

3

的等差数列，…（9分）
（3）解：由（2）得

1

an

=1+

2

3

(n-1)=

2n+1

3

，
∴an=

3

2n+1

，…-（10分）
当n≥2时，b_n=a_n-1a_n=

9

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
当n=1时，上式同样成立，…（12分）

所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

9

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

9

2

(1-

1

2n+1

)，
因为Sn＜

m-2012

2

，
所以

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

m-2012

2

对一切n∈N^*成立，…（14分）
又

9

2

(1-

1

2n+1

)随n递增，
且

lim

n→∞

（1-

1

2n+1

）=

9

2

，所以

9

2

≤

m-2012

2

，
所以m≥2021，
∴m_min=2021．…（16分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查最小正整数的求法．解题时要认真审题，熟练掌握数列知识和不等式知识，注意合理地进行等价转化．