Question

（2007•威海一模）已知a₁，a₂，…，a₈是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b₁，b₂，…，b₈由b_n=

an+k，1≤n≤8-k an+k-8， 8-k＜n≤8

确定．记C=

8

n=1

anbn．
（I）求k=3时C的值（求出具体的数值）；
（Ⅱ）求C最小时k的值．

Answer 1

分析：（I）利用已知和等比数列的通项公式可得a_n，当k=3时，可得bn=

an+3，1≤n≤5 an-5，5＜n≤8.

进而得到C=

8

n=1

anbn=

5

n=1

anan+3+

8

n=6

anan-5即可得出．
（II）利用bn=

an+k，1≤n≤8-k an+k-8，8-k＜n≤8.

即可得出C的表达式，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（I）显然an=2n-1(1≤n≤8)．
∴k=3，∴bn=

an+3，1≤n≤5 an-5，5＜n≤8.

∴C=

8

n=1

anbn=

5

n=1

anan+3+

8

n=6

anan-5=

5

n=1

22n+1+

8

n=6

22n-6
=（2³+2⁵+2⁷+2⁹+2¹¹）+（2⁵+2⁷+2⁹）
=3400．
（II）∵bn=

an+k，1≤n≤8-k an+k-8，8-k＜n≤8.

∴C=

8

n=1

anbn=

8-k

n=1

anan+k+

8

n=0-k

anan+k-8=

8-k

n=1

22n+k-2+

8

n=9-k

22n+k-10，
=

2k(48-k-1)

4-1

+

28-k(4k-1)

4-1

=

1

3

(216-k-2k+28+k-28-k)
=

1

3

(212-24)(24-k+2k-4)≥

2

3

(212-24)

24-k•2k-4

=2720．
∴当且仅当2^4-k=2^k-4时，C的值最小，此时解得k=4．

点评：正确理解分段函数的意义、求和符号、基本不等式的性质等是解题的关键．