Question

13．已知a∈R，函数$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1$．
（Ⅰ）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线$y=\frac{1}{2}x-1$垂直时，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数求出切线斜率，垂直时斜率之积为-1求解；
（Ⅱ）通过讨论函数单调性，分类求最值．

解答 解：1）∵f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，（x＞0）．
∴f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0）．，∴f′（1）=1-a．
∴（1-a）×$\frac{1}{2}$=-1，即a=3．
（Ⅱ）f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
∴当a≤0 时，f′（x）＞0在区间（0，e]上恒成立，
f（x）在（0，e]上递增，所以f（x）无最小值．
当0＜a＜e时，f′（x）＞0在区间（a，e]上恒成立，
f（x）在（a，e]上递增，f′（x）＜0在区间（0，a]上恒成立，f（x）在（0，a]上递减，
所以f（x）的最小值为f（a）=lna．
当a≥e时，f′（x）＜0在区间（0，e]上恒成立，f（x）在（0，e]上递减，
所以f（x）的最小值为f（e）=$\frac{a}{e}$
综上：当 a≤0 时，f（x）无最小值．
当0＜a＜e时，f（x）的最小值为f（a）=lna．
当a≥e时，f（x）的最小值为f（e）=$\frac{a}{e}$．

点评 本题考查了利用导数处理函数的切线、单调性、最值问题，属于中档题．