题目内容
2．在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h（x）（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式h（x）=f（x）+g（x）（3＜x＜7，m为常数），其中f（x）与（x-3）成反比，g（x）与（x-7）的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套．（1）求h（x）的表达式；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
分析 （1）利用f（x）与（x-3）成反比，g（x）与（x-7）的平方成正比，销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套，即可求得h（x）的表达式；
（2）确定每日销售套题所获得的利润，利用导数的方法求最值，从而可得销售价格x的值．
解答 解：（1）因为f（x）与（x-3）成反比，g（x）与（x-7）的平方成正比，
所以可设：f（x）=$\frac{{k}_{1}}{x-3}$，g（x）=${k}_{2}（x-7）^{2}$，k1≠0，k2≠0，
则h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{{k}_{1}}{x-3}$+${k}_{2}（x-7）^{2}$，则 …（2分）
因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套
所以，h（5）=21，h（3.5）=69，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{k}_{1}}{2}+4{k}_{2}=21}\\{2{k}_{1}+\frac{49}{4}{k}_{2}=69}\end{array}\right.$，解得：k1=10，k2=4，…（6分）
所以，h（x）=$\frac{10}{x-3}$+4（x-7）2 …（8分）
（2）由（1）可知，套题每日的销售量h（x）=$\frac{10}{x-3}$+4（x-7）2，
设每日销售套题所获得的利润为F（x）
则F（x）=（x-3）[$\frac{10}{x-3}$+4（x-7）2]=4x3-68x2+364x-578 …（10分）
从而F'（x）=12x2-136x+364=4（3x-13）（x-7）（3＜x＜7）．
令F'（x）=0，得x=$\frac{13}{3}$，且在（3，$\frac{13}{3}$）上，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增；在（$\frac{13}{3}$，7）上，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减，
所以x=$\frac{13}{3}$是函数F（x）在（3，7）内的极大值点，也是最大值点，
所以当x=$\frac{13}{3}$≈4.3时，函数F（x）取得最大值．
故当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．（16分）
点评 本题考查函数模型的构建，考查学生利用导数的知识求解最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
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