题目内容

在区间（-2，1）内，函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在 $数学公式$ 处取得极大值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．

解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+bx，∴f′（x）=-3x²+2ax+b（2分）
∵函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在 $\text{[math]}$ 处取得极大值
∴f′（-1）=0， $\text{[math]}$ （6分）
∴-3（-1）²+2a×（-1）+b=0， $\text{[math]}$
联立求解得 $\text{[math]}$ ，b=2（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=-3x²-x+2， $\text{[math]}$ ，
当x∈[-2，1]时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：（12分）

x	（-∞，-1）	-1	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		极小值		极大值

∴f（x）在（-∞，-1）， $\text{[math]}$ 上单调递减；（14分）
f（x）在 $\text{[math]}$ 上的单调递增．（15分）
分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在 $\text{[math]}$ 处取得极大值，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，即可得到f（x）在（-∞，+∞）上的单调区间．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导是关键．