Question

（2013•河东区二模）函数f（x）=e^x+x²-2在区间（-2，1）内零点的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由已知中函数的解析式，求出导函数f'（x）的解析式，和导函数的导函数f''（x）的解析式，分析f''（x）的符号，求出f'（x）的单调性，进而分析f'（x）的符号，再分析函数f（x）在区间（-2，1）的单调性及极值，进而结合零点存在定理，得到答案．

解答：解：∵f（x）=e^x+x²-2
得f'（x）=e^x+2x
f''（x）=e^x+2＞0
从而f'（x）是增函数，
f'（-2）=

1

e2

-4＜0
f'（0）=1＞0
从而f'（x）在（-2，1）内有唯一零点x₀，满足
则在区间（-2，x₀）上，有f'（x）＜0，f（x）是减函数，
在区间（x₀，1）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．
因为f（-2）=

1

e2

+2＞0，f（x₀）＜f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0
从而f（x）在（-2，1）上有两个零点．
故选B

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，使用导数法，判断函数的单调性是解答的关键，但需要二次求导，难度中档．