Question

在区间（-2，1）内，函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在x=

2

3

处取得极大值．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在x=

2

3

处取得极大值，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，即可得到f（x）在（-∞，+∞）上的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+bx，∴f′（x）=-3x²+2ax+b（2分）
∵函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在x=

2

3

处取得极大值
∴f′（-1）=0，f′(

2

3

)=0（6分）
∴-3（-1）²+2a×（-1）+b=0，-3(

2

3

)2+2a×(

2

3

)+b=0
联立求解得a=-

1

2

，b=2（8分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f'（x）=-3x²-x+2，f(x)=-x3-

x2

2

+2x，
当x∈[-2，1]时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：（12分）

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		极小值		极大值

∴f（x）在（-∞，-1），(

2

3

，+∞)上单调递减；（14分）
f（x）在(-1，

2

3

)上的单调递增．（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导是关键．