Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°.

(1)证明：AB⊥A₁C；
(2)若AB＝CB＝2，A₁C＝，求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积；
(3)若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB＝2，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）3（3）

(1)如图，取AB的中点O，连接CO，A₁O.

∵CA＝CB，∴CO⊥AB，
又∵AA₁＝AB，得AA₁＝2AO，
又∠A₁AO＝60°，
∴∠AOA₁＝90°，即AB⊥A₁O，
∴AB⊥平面A₁OC，又A₁C?平面A₁OC，
∴AB⊥A₁C.
(2)∵AB＝CB＝2＝AC，∴CO＝，
又A₁A＝AB＝2，∠BAA₁＝60°，
∴在等边三角形AA₁B中，A₁O＝，
∵A₁C²＝A₁O²＋CO²＝6，
∴∠COA₁＝90°，即A₁O⊥CO，
∴A₁O⊥平面ABC，
∴V_ABC－A1B1C1＝×2²×＝3.
(3)作辅助线同(1)
以O为原点，OA所在直线为x轴，OA₁所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A₁(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B₁(－2，，0)，则＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，设n＝(x，y，z)为平面BB₁C₁C的法向量，则即所以n＝(，1，－1)，
则cos<n，＝＝－，
所以A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为.