Question

11．已知直线l₁：（m²-m-2）x+2y+m-2=0，l₂：2x+（m-2）y+2=0，当m为何值时．
（1）l₁⊥l₂；（2）l₁∥l₂；（3）l₁、l₂有交点．

Answer 1

分析 （1）m=2时，两条直线方程分别化为：y=0，x+1=0，即可判断出是否满足l₁⊥l₂．m≠2时，由l₁⊥l₂，可得$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$×$（-\frac{2}{m-2}）$=-1，解得m即可．
（2）m=2时，两条直线方程分别化为：y=0，x+1=0，不满足l₁∥l₂，因此m≠2．当m≠2时，两条直线方程分别化为：$y=-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$x+$\frac{2-m}{2}$，$y=-\frac{2}{m-2}x$+$\frac{2}{2-m}$．
利用l₁∥l₂与斜率与截距的关系即可得出．
（3）由（1）可知：m=±2时，l₁与l₂相交．当m≠2时，$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$≠$-\frac{2}{m-2}$，解得m即可得出．

解答 解：（1）m=2时，两条直线方程分别化为：y=0，x+1=0，满足l₁⊥l₂，因此m=2．
m≠2时，∵l₁⊥l₂，∴$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$×$（-\frac{2}{m-2}）$=-1，解得m=-2．
综上可得：m=±2时，l₁⊥l₂；
（2）m=2时，两条直线方程分别化为：y=0，x+1=0，满足l₁⊥l₂，因此不满足l₁∥l₂，因此m≠2．
当m≠2时，两条直线方程分别化为：$y=-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$x+$\frac{2-m}{2}$，$y=-\frac{2}{m-2}x$+$\frac{2}{2-m}$．
∵l₁∥l₂，∴$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$=$-\frac{2}{m-2}$，$\frac{2-m}{2}$≠$\frac{2}{2-m}$，解得m=3．
综上可得：m=3．
（3）由（1）可知：m=±2时，l₁与l₂相交．
当m≠2时，$-\frac{{m}^{2}-m-2}{2}$≠$-\frac{2}{m-2}$，解得m≠0，3．
∴m≠0，3，两条直线相交．

点评 本题考查了两条直线平行、相交、垂直与斜率及其截距的关系，考查了分类讨论、计算能力，属于中档题．