Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（1）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）判断f（x）的单调性并利用单调性定义证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=a-

2

2x+1

，且为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，计算即可得到a；
（2）运用函数的单调性的定义，即可判断，注意作差、变形、判断符号等步骤．

解答： 解：（1）函数f（x）=a-

2

2x+1

，且为奇函数，
则f（-x）+f（x）=0，
即有a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=0，
即2a=

2(1+2x)

1+2x

=2，则a=1；
（2）f（x）在定义域R上递增．
理由如下：设m＜n，则f（m）-f（n）=1-

2

2m+1

-（1-

2

2n+1

）
=2•

2m-2n

(1+2m)(1+2n)

，由于m＜n，则0＜2^m＜2ⁿ，则有2^m-2ⁿ＜0，
故f（m）-f（n）＜0，
即有f（x）在定义域R上递增．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的单调性的判断，注意定义的运用，考查运算能力，属于基础题．