Question

已知椭圆的右顶点为A，右焦点为F，直线与x轴交于点B且与直线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，点P为点M直线的对称点
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：N、B、P三点共线；
（3）求△BMN的面积．的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，，可得且，从而可求椭圆方程；
（2）设直线l：y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理，同时确定的坐标，证明共线，即可证得结论；
（3）求出d为B到l的距离，弦长，即可表示出面积，从而可求△BMN的面积的最大值．
解答：（1）解：因为，，所以且，所以a=2，c=1
所以，所以椭圆方程为：…（4分）
（2）证明：设直线l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则由，消去y得（3+4k²）x-8k²x+4k²-12=0，
所以…（6分）
由于P（8-x₁，y₁），，
因为（4-x₁）y₂-（x₂-4）y₁=4（y₁+y₂）-x₁y₂-y₁x₂=4k（x₁+x₂-2）-2kx₁x₂+k（x₁+x₂）=…（8分）
当l⊥x轴时，也满足
故共线，所以N、B、P三点共线…（9分）
（3）解：记d为B到l的距离，则，，…（10分）
所以=…（12分）
当l⊥x轴时，，…（13分）
所以△BMN的面积的最大值为…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，考查三角形面积的计算，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理解题．