Question

已知椭圆的右顶点为A，离心率，过左焦点F（-1，0）作直线l与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线x=-4交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明以线段MN为直径的圆经过焦点F．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由离心率，过左焦点F（-1，0），可求得 c=1，a=2，从而可求b=，进而可得椭圆方程；
（Ⅱ） 斜率存在时，设直线l方程为 y=k（x+1），与椭圆方程联立，消去y 整理得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．进而可求M，N的坐标，从而可证 ；斜率不存在时，同理可证 ，从而以线段MN为直径的圆经过定点F
解答：解：（Ⅰ）由已知 c=1，，
∴a=2，b=，
∴椭圆方程为=1．--------------（5分）
证明：（Ⅱ） 设直线l方程为 y=k（x+1），
由  得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-．-----（7分）
设M（-4，y_M），N（-4，y_N），则由A，P，M共线，得，有 y_M=-．同理 y_N=-．
∴y_My_N=．------（9分）
∴，即FM⊥FN，以线段MN为直径的圆经过点F；----（12分）

当直线l的斜率不存在时，不妨设M（-4，3），N（-4，-3）．则有）=9-9=0，
∴，即FM⊥FN，以线段MN为直径的圆经过点F．
综上所述，以线段MN为直径的圆经过定点F．-----------（14分）
点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，同时考查向量与解析几何的交汇，综合性强．