Question

【题目】如图，三棱锥中，，底面为正三角形．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若平面，，，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，一般通过线面垂直性质定理，即先证线面垂直，耳线面垂直的判定，往往从线线垂直出发，其中线线垂直的寻找与论证往往利用平几知识：取的中点，则由等腰三角形性质得，，进而可证线面垂直（Ⅱ）求三棱锥体积，关键在于确定高线，而高线的确定，主要利用线面垂直条件进行寻找，由（Ⅰ）得，即为三棱锥及的高．根据面面垂直可得线面垂直，即，所以，最后代入锥的体积公式即可

试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，

∵，

∴，

又，

∴，

∴．………………………………5分

（Ⅱ）平面且交于，，

∴，即为三棱锥的高．

又，，，

∴，

∴．

则三棱锥的体积为．………………………………12分