题目内容

如图所示，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4．

(1)当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可以取所给数据中的哪些值？请说明理由；

(2)在满足(1)的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正切值；

(3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n＝1，2，3，…)，若a取所给数据中的最小值时，这样的点Qn有几个？试求二面角Qn－PA－Qn+1的大小．

答案：
解析：

　　探究：(1)建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，

　　设Q(a，x，0)(|BQ|＝x，0≤x≤2)，

　　于是有＝(a，x，－2)，＝(－a，2－x，0)．

　　由PQ⊥QD，得·＝－a2＋x(2－x)－2×0＝0，

　　即x2－2x＋a＝0，

　　此方程有解，则Δ＝4－4a2≥0，∴0≤a≤1．

　　当a＝时，方程的解x＝或x＝，满足0≤x≤2；

　　当a＝1时，方程的解x＝1，也满足0≤x≤2．

　　因此，满足条件的a的取值为a＝或a＝1．

　　(2)显然，在满足(1)的条件下，a取所给数据中的最大值时，a＝1，此时，由(1)知x＝1，Q(1，1，0)为BC的中点，

　　作QM⊥AD于M，有QM⊥面PAD，M为AD的中点，

　　连接PM，则∠QPM即为PQ与平面PAD所成的角．

　　在Rt△QMP中，QM＝1，PM＝，

　　∴tan∠QPM＝，

　　即直线PQ与平面ADP所成角的正切值为．

　　(3)在满足(1)的条件下，a取所给数据中的最小值时，a＝，由(1)知，此时x＝或x＝，

　　∴满足条件的点Q有两个：Q1(，，0)，Q2(，，0)．

　　此时，所求的二面角应为Q1－PA－Q2(如图所示)．

　　∵PA⊥面ABCD，

　　∴PA⊥Q1A，PA⊥Q2A，

　　∴∠Q1AQ2即为所求二面角的平面角，

　　

　　规律总结：一般来说，设存在这样的点，然后设出此点的空间坐标，转化为代数上的方程是否有解问题，若有解，则存在这样的点，否则，不存在．


练习册系列答案
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2
＜φ＜π），x∈[-3，0]的图象，且图象的最高点为B（-1，3
2
）；赛道的中间部分为
3
千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧
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．
（1）求ω，φ的值和∠DOE的值；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积最大时θ的值．
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π2
，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．
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（1）求ω，φ的值和∠DOE的值；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积最大时θ的值．

（本小题满分14分）

如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数y＝(A＞0，＞0，＜＜)，x∈[－3，0]的图象，且图象的最高点为B(－1，)；赛道的中间部分为千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧．

 （1）求，的值和∠DOE的值；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE＝，求当“矩形草坪”的面积最大时的值．

 

 

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