题目内容
如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，| π |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
 |
| DE |
（1）求ω，φ的值和∠DOE的值；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积最大时θ的值．
分析：1）依题意，得A=3
，
=2，根据周期公式T=
可得ω=
，把B（-1，3
）代入结合已知
＜φ＜π可得φ，又x=0时，y=OC=3，因为CD=
从而可得∠COD=
，可求∠DOE=
．
（2）由（1）可知OD=OP=2
，矩形草坪的面积S=（2
sinθ）2
cosθ+2sinθ=4
sin（2θ+
）-2
，有0＜θ＜
，结合正弦函数的性质可求
| 2 |
| T |
| 4 |
| 2π |
| w |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）由（1）可知OD=OP=2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）依题意，得A=3
，
=2，因为T=
，所以ω=
，所以y=3
sin（
x+φ）．
当x=-1时，3
sin（-
+φ）=3
，由
＜φ＜π，得-
+φ=
，所以φ=
．
又x=0时，y=OC=3，因为CD=
，所以∠COD=
，从而∠DOE=
．
（2）由（1）可知OD=OP=2
，矩形草坪的面积
S=（2
sinθ）（2
cosθ-2sinθ）=4
（
sinθcosθ-sin2θ）
=4
（
sin2θ+
cos2θ-
）=4
sin（2θ+
）-2
，
其中0＜θ＜
，所以当2θ+
=
，即θ=
时，S最大．
| 2 |
| T |
| 4 |
| 2π |
| w |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
当x=-1时，3
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
又x=0时，y=OC=3，因为CD=
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）由（1）可知OD=OP=2
| 3 |
S=（2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=4
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
其中0＜θ＜
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．
练习册系列答案
相关题目
＜φ＜π），x∈[-3，0]的图象，且图象的最高点为B（-1，3
）；赛道的中间部分为
千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧
．
＜φ＜π），x∈[-3，0]的图象，且图象的最高点为B（-1，3
）；赛道的中间部分为
千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧
．
(A＞0，
＞0，
＜
＜
)，x∈[－3，0]的图象，且图象的最高点为B(－1，
)；赛道的中间部分为
千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧
．
，求当“矩形草坪”的面积最大时
(A＞0，
＞0，
＜
＜
)，x∈[－3，0]的图象，且图象的最高点为B(－1，
)；赛道的中间部分为
千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧
．
，求当“矩形草坪”的面积最大时