Question

如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=

π

2

，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．
（1）求证：AD∥平面PCE；
（2）求三棱锥P-ACE的高．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理证明直线PH∥AD，即可证明AD∥平面PCE．
（2）利用等积法求三棱锥P-ACE的高．

解答：（1）设BD∩CE=H，连结PH，
∵P为AB的中点，∴PH为△ABD的中位线，
∴PH∥AD，
∵PH?面PCE，AD?面PCE，
∴AD∥平面PCE．
（2）∵AC=1，AB=3，∠ACB=

π

2

，
∴BC=

31-1

=

8

=2

2

，PC=

1

2

AB=

3

2

，PA=

3

2

，
∴sinA=

BC

AB

=

2 2

3

，
∴△APC的面积为

1

2

AC•APsinA=

1

2

×1×

3

2

×

2 2

3

=

2

2

，
∵CD=2，△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，
∴三角形ACE为直角三角形，
∴CE=2

3

．
设三棱锥P-ACE的高为h，
则，VP-ACE=

1

3

×

1

2

CE?AC?h=

1

3

×

1

2

×2

3

h=

3

3

h，VE-ACP=

1

3

×

2

2

×2=

2

3

，
∵V_E-ACP=V_P-ACE
∴等积法得

3

3

h=

2

3

，解得h=

2

3

=

6

3

．
即三棱锥P-ACE的高为

6

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，利用线面平行的判定定理进行证明即可．求锥体的高，可以考虑使用等积法求解．