Question

若函数，非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”.

（1）已知函数的最小正周期为，求函数的“相伴向量”；

（2）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，求的值；

（3）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出“相伴向量”；

若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）（1，1）；（2） ；（3）不存在“相伴向量”

【解析】

试题分析：（1）由函数平方项展开化简，再通过化一公式即可得一个函数的形式，又因为最小正周期为，即可求得的值.再将函数展开写成的形式及可得结论.

（2）由向量为函数的“相伴向量”，所以可得到函数.再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数.再根据.通过解三角方程即可得到所求的结论.

（3）对于函数，是否存在“相伴向量”.通过反证法的思想，可证明不存在函数的“相伴向量”.

（1）

， 1分

依题意得，故． 2分

∴，即的“相伴向量”为（1，1）．　　 3分

（2）依题意，， 4分

将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到函数， 5分

再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，

即， 6分

∵，∴，

∵，∴，∴， 8分

∴. 10分

（3）若函数存在“相伴向量”，

则存在，使得对任意的都成立， 11分

令，得，

因此，即或，

显然上式对任意的不都成立，

所以函数不存在“相伴向量”． 13分

(注：本题若化成，直接说明不存在的，给1分)

考点：1.三角函数的性质.2.三角恒等变换.3.三角函数的图象.4.新定义问题.5.反正的思想.