Question

设数列{a_n}的首项a1=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an，n为偶数 an+ 1 4 ，n为奇数

记bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的判断．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据an+1=

1 2 an，n为偶数 an+ 1 4 ，n为奇数

，一一代入可求；
（Ⅱ）先通过求出前几项，猜想：{b_n}是公比为

1

2

的等比数列，再进行证明．

解答：解：（Ⅰ）a2=a1+

1

4

=a+

1

4

，a3=

1

2

a2=

1

2

a+

1

8

．a4=a3+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，a5=

1

2

a4=

1

4

a+

3

16

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b1=a1-

1

4

=a-

1

4

，b2=a3-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，b3=a5-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)．
猜想：{b_n}是公比为

1

2

的等比数列．
证明如下：因为bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn(n∈N*)，
又a≠

1

4

，所以b1=a-

1

4

≠0，
所以数列{b_n}是首项为a-

1

4

，公比为

1

2

的等比数列．…（12分）

点评：本题主要考查数列通项的求解与运用，考查等比数列的证明，属于基础题．