Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an(an+1 2+1)

a 2 n +1

（n≥1，n∈N^*）．
（1）求证：数列{

an+1

an+ 1 an

}是常数列；
（2）求证：当n≥2时，2＜a_n²-a_n-1²≤3；
（3）求a₂₀₁₁的整数部分．

Answer 1

分析：（1）对 an+2=

an( a 2 n+1 +1)

a 2 n +1

(n≥1，n∈N^*）变形化简得

an+2

an+1+ 1 an+1

=

an+1

an+ 1 an

．将其迭代，利用a₁=1，a₂=2可以得到a_n+1与a_n之间的递推关系式；
（2）由于数列递增，所以对一切n≥1，有a_n≥1成立，从而 0＜

1

an2

≤1．又当n≥2时，

a

2 n

=(an-1+

1

an-1

)2=

a

2 n-1

+

1

a 2 n-1

+2，所以有

a

2 n

-

a

2 n-1

=

1

a 2 n-1

+2，从而问题得证．
（3）当n≥2时，

a

2 n

=

a

2 n-1

+

1

a 2 n-1

+2，

a

2 n

=

1

a 2 n-1

+…+

1

a 2 1

+2(n-1)．

a

2 2011

=

1

a 2 2010

+…+

1

a 2 1

+2(2011-1)＞4020＞3969=632
又当n≥3时，有a_n²＞2n，从而

a

2 2011

=

1

a 2 2010

+…+

1

a 2 1

+2(2011-1)=4020+

1

a 1 2

+…+

1

a 2010 2

＜4096，从而可解．

解答：解：（1）易知，对一切n≥1，a_n≠0，由a_n+2=

an(an+1+1)

a 2 n +1

，得

an+2

an+1+ 1 an+1

=

an+1

an+ 1 an

．
依次利用上述关系式，可得

an+1

an+ 1 an

=

an

an-1+ 1 an-1

=

an-1

an-2+ 1 an-2

=…=

a1

a1+ 1 a1

=

2

1+ 1 1

=1，
从而数列

an(an+1+1)

a 2 n +1

是常数列．（4分）
（2）由（1）得a_n+1=a_n+

1

an

．
又a₁=1，∴可知数列{a_n}递增，则对一切n≥1，有a_n≥1成立，从而0＜a_n²≤1．（6分）
当n≥2时，a_n²=a_n-1²+

1

a 2 n-1

+2，
于是a_n²-a_n-1²=

1

a 2 n-1

+2，
∴2＜a_n²-a_n-1²≤3．（8分）
（3）当n≥2时，a_n²=a_n-1²+

1

a   2 n-1

+2，
∴a=1，a₂²=4，则当n≥3时，
a_n²＞2n．
a₂₀₁₁²＞4 022＞3 969=63²，（10分）
a₂₀₁₁²=

1

a 2 2010

+…+

1

a 2 1

+2（2011-1）+1
=4 022+

1

2

＜4 022+

1

2

×33
=4 022+

1

2

×33
＜4 022+

1

2

（19+4+10）＜4 039＜4 096=64²．（14分）
∴63＜a₂₀₁₁＜64，即a₂₀₁₁的整数部分为63．（16分）

点评：本题主要考查数列与不等式的综合，技巧性强，难度大．