Question

已知椭圆Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，且经过点（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）A是椭圆Ω与y轴正半轴的交点，椭圆Ω上是否存在两点M、N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的a，b，c的关系和已知点在椭圆上，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于x轴，故可设AM所在直线的方程为y=kx+1，不妨设k＞0，联立直线方程和椭圆方程，消去y，解方程求得M的坐标，同样求得N的坐标，由AM=AN，求得k，讨论k，即可判断符合条件的三角形的个数．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，

a2-b2=3 1 a2 + 3 4b2 =1

解得a²=4，b²=1，
所以椭圆Ω的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于x轴，
故可设AM所在直线的方程为y=kx+1，不妨设k＞0，
则直线AM所在的方程为y=-

1

k

x+1．
联立方程

y=kx+1 x2+4y2=4

，消去y，整理得（1+4k²）x²+8kx=0，
解得xM=-

8k

1+4k2

，
将xM=-

8k

1+4k2

，代入y=kx+1可得，yM=

-8k2

1+4k2

+1，
故点M(-

8k

1+4k2

，

-8k2

1+4k2

+1)．
所以|AM|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8k 1+k2

1+4k2

．
同理可得|AN|=

8 1+k2

4+k 2

，由|AM|=|AN|，得k（4+k²）=1+4k²，
所以k³-4k²+4k-1=0，则（k-1）（k²-3k+1）=0，解得k=1或k=

3± 5

2

．
当AM斜率k=1时，AN斜率-1；当AM斜率k=

3+ 5

2

时，AN斜率

-3+ 5

2

；
当AM斜率k=

3- 5

2

时，AN斜率

-3- 5

2

．
综上所述，符合条件的三角形有3个．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，解交点，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．