Question

关于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五个互不相等的实数根，则k的取值范围

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：关于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五个互不相等的实数根可化为函数y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-1与y=kx有5个不同的交点，作函数图象并求临界值，结合图象写出答案．

解答： 解：关于x的方程|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-kx-1=0有五个互不相等的实数根
可化为函数y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-1与y=kx有5个不同的交点，
作函数y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-1与y=kx的图象如下，

当x＞1时，y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|-1=

2

x

-1；
设相切时切点为（m，

2

m

-1）；
y′=-2

1

m2

，则-2

1

m2

=

2 m -1

m

，
解得，m=4；
故k=-2×

1

42

=-

1

8

；
故结合图象知，k的取值范围为（-

1

8

，0）∪（0，

1

8

）；
故答案为：（-

1

8

，0）∪（0，

1

8

）．

点评：本题考查了函数的图象与方程的根的联系及导数的综合应用，属于中档题．