Question

函数f（x）=

2sin2x-3sinx

(2sinx+3)2

的值域为

 

．

Answer 1

分析：由f（x）=

2sin2x-3sinx

(2sinx+3)2

=

1

2

- 

9

2

•

2sinx+1

4sin2x+12sinx+9

，令t=2sinx+1，则由sinx∈[-1，1]可得t∈[-1，3]，设m=

2sinx+1

4sin2x+12sinx+9

=

t

t2+4t+4

，分类讨论①当t=0时，m=0②当0＜t≤3时，利用基本不等式可得m=

1

t+ 4 t +4

≤

1

2 t• 4 t +4

=

1

8

③当-1≤t＜0时，t+

4

t

+4≤-1可求m，综合①②③可求m的范围，而f（x）=

1

2

-

9m

2

可求

解答：解：f（x）=

2sin2x-3sinx

(2sinx+3)2

=

2sin2x-3sinx

4sin2x+12sinx+9

=

2sin2x+6sinx+ 9 2 -(9sinx+ 9 2 )

4sin2x+12sinx+9

=

1

2

-

9

2

•

sinx+ 1 2

2sin2x+6sinx+ 9 2

=

1

2

- 

9

2

•

2sinx+1

4sin2x+12sinx+9

令t=2sinx+1则由sinx∈[-1，1]可得t∈[-1，3]，sinx=

1

2

（t-1）
设m=

2sinx+1

4sin2x+12sinx+9

=

t

t2+4t+4

当t=0时，m=0
当0＜t≤3时，m=

1

t+ 4 t +4

≤

1

2 t• 4 t +4

=

1

8

，即0＜m≤

1

8

当-1≤t＜0时，t+

4

t

+4≤-1 即-1≤m＜0．
综上可知：-1≤m≤

1

8

而f（x）=

1

2

-

9m

2

∈[-

1

16

，5]
∴函数f（x）的值域为[-

1

16

，5]

点评：本题主要考查了利用判别式法函数值域，利用了正弦函数的值域，体现了函数与方程的相互转化及分类讨论的思想．