Question

已知函数在（1，+∞）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道函数是增函数，求参数范围，转化为导函数大于等于0恒成立，用分离参数求最值解决．
（2）为含有参数的绝对值函数的最值问题，关键是去绝对值，需考虑e^x-a的正负问题，进行讨论．
去绝对值后转化为关于t的一次函数，利用单调性求最值即可．
解答：解：（1），
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立．
∴恒成立，
∵，当且仅当x=1时取等号，
∴，∴a≥2；
（2）设t=e^x，则，
∵0≤x≤ln3，∴1≤t≤3．
当2≤a≤3时，，
∴h（t）的最小值为，
当a＞3时，，
∴h（t）的最小值为．
综上所述，当2≤a≤3时，g（x）的最小值为，
当a＞3时，g（x）的最小值为．
点评：本题考查已知函数单调性求参数范围、求函数的最值、分类讨论思想等，综合性较强．