Question

5．已函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）作出函数y=f（x）的图象；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的性质将函数表示为分段函数形式，即可作出函数y=f（x）的图象；
（2）将不等式恒成立转化为最值问题进行求解即可．

解答 解：（1）①当x≤-1时，f（x）=-x-1-x+3=-2x+2；
②当-1＜x＜3时，f（x）=x+1+3-x=4；
③当x≥3时，f（x）=x+1+x-3=2x-2．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x+2，x≤-1\\ 4，-1＜x＜3，2x-2，x≥3\end{array}$
∴y=f（x）的图象如图所示．

（2）由（1）知f（x）的最小值为4，
则对任意x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立等价为a²-3a≤4恒成立，
即a²-3a-4≤0，
即（a-4）（a+1）≤0，
解得-1≤a≤4．
故实数a的取值范围为[-1，4]．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，根据绝对值不等式的性质将绝对值函数转化为分段函数形式是解决本题的关键．