Question

【题目】已知椭圆： 过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上存在点满足，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）5

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由椭圆的离心率为可得，由椭圆过点，故，解得，，从而可得椭圆的方程．（Ⅱ）由题意可得是线段的垂直平分线与轴交点，设直线的的方程为，与椭圆的方程联立消元后根据所得的二次方程可得弦的中点，由此可得线段的垂直平分线的方程，进而得到点再求得及三角形的高后可得三角形的面积，根据基本不等式求得面积的最大值为5.

试题解析：

（Ⅰ）由题意得，

所以．①

因为点在椭圆上，

所以．②

由①②得，．

所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）因为轴上存在点满足，

所以是线段的垂直平分线与轴交点．

由题意设直线的的方程为，

由消去y整理得．

因为直线与椭圆交于两点，

所以，

解得．

设，，的中点为.

则，.

所以，

故，

所以点．

故线段的垂直平分线的方程为，即.

令,得，即．

所以，即的高，

又

．

所以，

当且仅当，即时等号成立．

验证可得满足．

所以面积的最大值为5．