Question

【题目】已知函数， ，其中．

（1）当时，求函数的单调递减区间；

（2）若对任意的， （为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递减区间为， ；（2）.

【解析】试题分析： 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；

问题等价于对任意的， 都有，通过讨论的范围，求出函数的单调性，从而求出的最小值和的最大值，确定的范围即可；

解析：（I）解：当时，

解得或，

则函数的单调递减区间为，

（II）对任意的都有成立等价于在定义域内有．

当时， ．

∴函数在上是增函数．

∴．

∵，且， ．

①当且时， ，(仅在且时取等号)

∴函数在上是增函数，

∴.

由，得，

又，∴不合题意．

②当时，

若，则，

若，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴. 由，得，

又，∴．

③当且时， ，(仅在且时取等号)

∴函数在上是减函数．

∴.

由，得，

又，∴．

综上所述：