Question

已知椭圆：的离心率为，右焦点为，右顶点在

圆：上.

（Ⅰ）求椭圆和圆的方程；

（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于另一点，与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线，使点恰好为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得，                         -

         又由题意可得，

所以，                               -

         所以,                      

         所以椭圆的方程为.            

         所以椭圆的右顶点，                          代入圆的方程，可得,

         所以圆的方程为.            

（Ⅱ）法1：

假设存在直线:满足条件，  

      由得-

      设，则,              

      可得中点，                -

      由点在圆上可得

         化简整理得                         

         又因为，

         所以不存在满足条件的直线.                

（Ⅱ）法2：

假设存在直线满足题意.

由（Ⅰ）可得是圆的直径，             

      所以.                                -

      由点是中点，可得.        

      设点，则由题意可得.     

         又因为直线的斜率不为0，所以,        -

      所以,-

         这与矛盾，所以不存在满足条件的直线.