题目内容
角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=-
；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=-2．对于下列结论：
①P（-
，-
）；
②|PQ|2=
；
③cos∠POQ=-
；
④△POQ的面积为
，
其中正确结论的编号是（ ）
| 3 |
| 4 |
①P（-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
②|PQ|2=
10+2
| ||
| 5 |
③cos∠POQ=-
| 3 |
| 5 |
④△POQ的面积为
| ||
| 5 |
其中正确结论的编号是（ ）
| A、①②③④ | B、②③④ |
| C、①③④ | D、①②④ |
考点：三角函数线,单位圆与周期性
专题：三角函数的图像与性质
分析：利用诱导公式得到OP所对应的角，结合平方关系求解
+α的正余弦值得答案，判断命题①；求出Q的坐标，由两点间的距离公式计算|PQ|2，然后判断真假；把两角差的余弦用诱导公式化为正弦，展开后计算得答案，再判断真假；直接由面积公式求值，然后判断真假，从而得出结论．
| π |
| 2 |
解答：
解：由题意，可设α、β为钝角，如图，由tanα=-
，得cot（
+α）=
，
可得
+α∈（π，
），∴cos（
+α）=-
，sin（
+α）=-
，
故 P（-
，-
），故①正确．
由tanβ=-2，可得sinβ=
，cosβ=-
，
∴Q（-
，
），∴|PQ|2=(-
+
)2+(
+
)2=
，
故②正确．
对于③，cos∠POQ=cos（
+α-β）=-sin（α-β）
=-sinαcosβ+cosαsinβ=-
×（-
）+（-
）×
=-
，故命题③错误．
由③得：sin∠POQ=
，∴△POQ的面积为
•OP•OQ•sin∠POQ=
×1×1×
=
，
故④正确．
∴正确的命题是①②④．
故选：D．
解：由题意，可设α、β为钝角，如图，由tanα=-| 3 |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
可得
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
故 P（-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
由tanβ=-2，可得sinβ=
2
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
∴Q（-
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
10+2
| ||
| 5 |
故②正确．
对于③，cos∠POQ=cos（
| π |
| 2 |
=-sinαcosβ+cosαsinβ=-
| 3 |
| 5 |
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
由③得：sin∠POQ=
2
| ||
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
故④正确．
∴正确的命题是①②④．
故选：D．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数线，训练了三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式的用法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出下列4个命题：
①若sin（
+α）=
，则cos（α-
）=
②存在实数α使sinα+cosα=
③x=
是函数y=sin（2x+
）的图象的一条对称轴方程
④要得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x+
）的图象向左平移
个单位
其中正确的命题序号是（ ）
①若sin（
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
②存在实数α使sinα+cosα=
| 3 |
| 2 |
③x=
| π |
| 8 |
| 5π |
| 4 |
④要得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
其中正确的命题序号是（ ）
| A、①②③ | B、③④ |
| C、①③ | D、①③④ |
函数g（x）=2x+5x的零点所在的一个区间是（ ）
| A、（0，1） |
| B、（1，2） |
| C、（-1，0） |
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已知椭圆E：
已知点A（-3，1）是椭圆