Question

已知（a²+1）ⁿ（a≠0）展开式中各项系数之和等于（

16

5

x²+

1

x

）⁵展开式的常数项．
（1）求n值；
（2）若（a²+1）ⁿ展开式的系数最大的项等于54，求a值．

Answer 1

分析：（1）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
（2）根据（a²+1）ⁿ =（a²+1）⁴ 展开式的系数最大的项等于

C

2 4

a⁴=54，求得a的值．

解答：解：（1）由于（

16

5

x²+

1

x

）⁵展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 5

•(

16

5

)5-r•x^10-2r•x-

r

2

=(

16

5

)5-r•

C

r 5

•x10-

5r

2

，
令10-

5r

2

=0，解得 r=4，故展开式的常数项为

16

5

×5=16．
由题意可得 2ⁿ=16，故有n=4．
（2）由于（a²+1）ⁿ =（a²+1）⁴ 展开式的系数最大的项等于

C

2 4

a⁴=54，∴a²=3，解得 a=±

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．