Question

已知（a²+1）ⁿ展开式中各项系数之和等于（

16

5

x²+

1

x

）⁵的展开式的常数项，而（a²+1）ⁿ的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

Answer 1

分析：由二项式定理通项公式知T_r+1=C₅^r（

16

5

x²）^5-r（

1

x

）^r=（

16

5

）^5-r•C₅^r•x

20-5r

2

．由20-5r=0，知r=4，由题意得2ⁿ=16，n=4．再由二项式系数的性质知，（a²+1）ⁿ展开式中二项式系数最大的项是中间项T₃，由此可求出a的值．

解答：解：由（

16

5

x²+

1

x

）⁵得，
T_r+1=C₅^r（

16

5

x²）^5-r（

1

x

）^r=（

16

5

）^5-r•C₅^r•x

20-5r

2

．
令T_r+1为常数项，则20-5r=0，
∴r=4，∴常数项T₅=C₅⁴×

16

5

=16．
又（a²+1）ⁿ展开式的各项系数之和等于2ⁿ．
由题意得2ⁿ=16，∴n=4．
由二项式系数的性质知，（a²+1）ⁿ展开式中二项式系数最大的项是中间项T₃，
∴C₄²a⁴=54，
∴a=±

3

．

点评：本题考查二项式定理的应用和二项式系数的性质，解题时要注意根据实际情况灵活地运用公式．