Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f（x）=2xtan2α+sin（2α+

π

4

），数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=log₂（a_n+1），设T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

，若T_n＞m对x≥2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：（1）由α为锐角，且tanα=

2

-1可求得tan2a=

2tanα

1-tan2α

=1，2a=

π

4

，从而求出函数f（x）的表达式；
（2）由题意，a_n+1+1=2（a_n+1），则数列{a_n+1}的首项为2，公比为2的等比数列，从而求出b_n=log₂（a_n+1）=n，判断T_n的单调性求最小值即可．

解答： 解：（1）∵tanα=

2

-1，
∴tan2a=

2tanα

1-tan2α

=1，
又∵α为锐角，
∴2a=

π

4

，
∴sin（2α+

π

4

）=sin

π

2

=1，
∴f（x）=2x+1；
（2）∵a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁=1，
∴数列{a_n+1}的首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，
∴T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

2+n

+…+

1

2n

，

而T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞0，
所以n≥2时，T₂取得最小值，
则若T_n＞m对n≥2恒成立可化为
T₂＞m，又∵T₂=

7

12

，
则m＜

7

12

．

点评：本题考查了三角函数的求值及等差数列与等比数列的化简与求值，同时考查了数列的单调性的判断，属于中档题．