Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是$\frac{3}{2}{e}^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 设公共点（x₀，y₀），根据题意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b关于a的函数关系式，然后利用导数研究b关于a的函数的单调性，从而求出b的最大值．

解答 解：（I）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$．
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3{a}^{2}ln{x}_{0}+b}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
b（a）=$\frac{5{a}^{2}}{2}$-3a²lna（a＞0）
b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）
b'（a）＞0?$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{1-3lna＞0}\end{array}\right.$?0＜a＜${e}^{\frac{1}{3}}$
b'（a）＜0?$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{1-3lna＜0}\end{array}\right.$?a＞${e}^{\frac{1}{3}}$
可见b（a）_max=b（${e}^{\frac{1}{3}}$）=$\frac{3}{2}{e}^{\frac{2}{3}}$．
故答案为：$\frac{3}{2}{e}^{\frac{2}{3}}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程和恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．