Question

11．已知函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＞1}\\{\sqrt{{1-x}^{2}}，-1≤x≤1}\end{array}\right.$则${∫}_{-1}^{2}$g（x）dx=$\frac{π}{2}$+e²-e．

Answer 1

分析 由题意可得${∫}_{-1}^{2}$g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}{e}^{x}dx$，由定积分的几何意义和定积分的计算可得．

解答 解：∵g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＞1}\\{\sqrt{{1-x}^{2}}，-1≤x≤1}\end{array}\right.$，
∴${∫}_{-1}^{2}$g（x）dx=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}{e}^{x}dx$，
由定积分的几何意义可知=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$表示上半圆x²+y²=1（y≥0）的面积，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{π}{2}$，又${∫}_{1}^{2}{e}^{x}dx$=e^x|${|}_{1}^{2}$=e²-e，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$+${∫}_{1}^{2}{e}^{x}dx$=$\frac{π}{2}$+e²-e，
故答案为：$\frac{π}{2}$+e²-e．

点评 本题考查定积分的计算，涉及定积分的意义，属基础题．