Question

1．已知函数$f（x）=lnx+\frac{2a}{x}，a∈R$．
（1）若函数f（x）在[4，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，求出a的值即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2a}{x^2}=\frac{x-2a}{x^2}$，由已知$?x∈[{4，+∞}），\frac{x-2a}{x^2}≥0$，即x-2a≥0，
∴2a≤x，∴2a≤4，∴a≤2．
（2）当2a≤1，即$a≤\frac{1}{2}$时，x∈[1，e]，f'（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=2a=3，∴$a=\frac{3}{2}$舍；
当1＜2a＜e，即$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$时，x∈（1，2a），f'（x）＜0，
∴f（x）在x∈（1，2a）上单调递减；
x∈（2a，e），f'（x）＞0，
∴f（x）在x∈（1，2a）上单调递增，
∴f（x）_min=f（2a）=ln2a+1=3，
∴$a=\frac{e^2}{2}$舍；
当2a≥e，即$a≥\frac{e}{2}$时，x∈[1，e]，f'（x）≤0，
∴f（x）在[1，e]上单调递减，
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=1+\frac{2a}{e}=3$，∴a=e；
综上，a=e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．