题目内容
在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，设向量
=（a，
），
=（cosC，c-2b），且
⊥
，
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=4，求△ABC的周长最小值．
| m |
| 1 |
| 2 |
| n |
| m |
| n |
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=4，求△ABC的周长最小值．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）在△ABC中，由
•
=0，求得cosC=
．再由余弦定理可得cosC=
，化简可得a2-b2-c2=-bc，求得cosA=
的值，可得A的值．
（2）由 b+c=4≥2
，求得bc≤4，再根据△ABC的周长为a+b+c=b+c+
，可得△ABC的周长最小值．
| m |
| n |
| 2b-c |
| 2a |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
（2）由 b+c=4≥2
| bc |
| 16-3bc |
解答：
解：（1）在△ABC中，∵向量
=（a，
），
=（cosC，c-2b），且
⊥
，
∴
•
=a•cosC+
c-b=0，即 cosC=
．
再由余弦定理可得cosC=
，∴
=
，∴a2-b2-c2=-bc，
∴cosA=
=
，∴A=
．
（2）∵b+c=4≥2
，∴bc≤4，
△ABC的周长为a+b+c=4+a=4+
=4+
=4+
≥4+
=6，
故△ABC的周长最小值为6．
| m |
| 1 |
| 2 |
| n |
| m |
| n |
∴
| m |
| n |
| 1 |
| 2 |
| 2b-c |
| 2a |
再由余弦定理可得cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 2b-c |
| 2a |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）∵b+c=4≥2
| bc |
△ABC的周长为a+b+c=4+a=4+
| b2+c2-2bc•cosA |
| (b+c)2-3bc |
| 16-3bc |
| 16-12 |
故△ABC的周长最小值为6．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的垂直的性质，余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．
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