Question

已知函数f（x）=（x+t）²+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（1）求实数t的值；
（2）求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=2(x+t)+

4

x+1

，由此利用导数的几何意义能求出t=-2．
（2）由（1）知f′(x)=

2x(x-1)

x+1

，x＞-1，由此利用导数性质能求出f（x）的极值．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x+t）²+4ln（x+1），
∴f′(x)=2(x+t)+

4

x+1

，
∵函数f（x）=（x+t）²+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，
∴f′(1)=2(1+t) +

4

2

=0，
解得t=-2．
（2）由（1）知f′(x)=

2x(x-1)

x+1

，x＞-1，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0或x＞1，
∴f（x）的增区间为（0，1），减区间为（-1，0），（1，+∞），
∴f(x)极大值 =f（0）=4，
f（x）_极小值=f（1）=1+4ln2．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．