Question

在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，若A、B两点的横坐标分别为

5

13

、

4

5

．则tan(α+

β

2

)的值为

 

．

Answer 1

分析：先根据锐角α、β的终边分别与单位圆的交点的横坐标可得到其纵坐标，进而可表示出α、β的正弦与余弦值，再由二倍角公式可求出

β

2

的正弦与余弦值，进而可求得其正切值，最后根据两角和与差的正切公式可得到答案．

解答：解：∵是单位圆∴半径r=1
∵A、B两点的横坐标分别为

5

13

、

4

5

．
∴y_A=

12

13

，y_B=

3

5

∴sinα=

12

13

，sinβ=

3

5

∵α和β都是锐角，∴cosα＞0，cosβ＞0
∴cosα=

5

13

，cosβ=

4

5

又∵cosβ=2cos 2

β

2

-1=

4

5

∴cos

β

2

=

3 10

10

，sin

β

2

=

10

10

∴tanα=

12

5

，tan

β

2

=

1

3

tan(α+

β

2

)=

tanα+tan β 2

1-tanαtan β 2

=

12 5 + 1 3

1- 12 5 × 1 3

=

41

3

．
故答案为：

41

3

点评：本题主要考查已知角终边上点的坐标求三角函数值的问题．考查基础知识的简单应用和计算能力．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和练习．