题目内容

已知椭圆C1与椭圆
x2
5
+
y2
2
=1有相同的焦点，且过点(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）若P是椭圆C1上一点，F1、F2为椭圆C1的左、右焦点，PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
分析：（1）由于椭圆C1与椭圆
x2
5
+
y2
2
=1有相同的焦点，于是可设方程为
x2
m+3
+
y2
m
=1(m＞0)，把点(1，
3
2
)代入即可解得m．
（2）利用勾股定理和椭圆的定义即可得出．
解答：解：（1）∵椭圆C1与椭圆
x2
5
+
y2
2
=1有相同的焦点，
∴可设方程为
x2
m+3
+
y2
m
=1(m＞0)，
把点(1，
3
2
)代入可得
1
m+3
+
3
4m
=1，解得m=1．
∴椭圆C1的标准方程为
x2
4
+y2=1；
（2）由椭圆C1的标准方程为
x2
4
+y2=1可得c=
a2-b2
=
3
；
∵|PF1|2+|PF2|2=(2
3
)2=12，|PF1|+|PF2|=4，
∴|PF1|•|PF2|=2，
∴S△PF1F2=
1
2
|PF1| |PF2|=
1
2
×2=1．
点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、三角形的面积计算公式等基础知识与基本方法，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
3
，直线l：x-y+
5
=0与椭圆C1相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直与椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若A（x1，2），B（x2，y2），C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥BC，求实数y0的取值范围．
（2012•枣庄一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，椭圆上一点到一个焦点的最大值为3，圆C2：x2+y2+8x-2
3
y+7=0，点A是椭圆上的顶点，点P是椭圆C1上不与椭圆顶点重合的任意一点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线AP与圆C2相切，求点P的坐标；
（3）若点M是椭圆C1上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x1，0），点F（x2，0），探究x1•x2是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C1的方程；
（II）直线l1过椭圆C1的左焦点F1，且与x轴垂直，动直线l2垂直于直线l2，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（III）设C2上的两个不同点R、S满足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范围（O为坐标原点）．
（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记λ=
mn
，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．
（2009•嘉定区二模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）满足a：b=
3
：
2
，且椭圆C1过点(
3
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆C1的长轴，动直线l2垂直于l1且与l1交于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）设曲线C2与x轴交于点Q，C2上有与Q不重合的不同两点R（x1，y1）、S（x2，y2），且满足
QR
•
RS
=0，求点S的横坐标x2的取值范围．

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