题目内容

（2009•嘉定区二模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）满足a：b=
3
：
2
，且椭圆C1过点(
3
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆C1的长轴，动直线l2垂直于l1且与l1交于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）设曲线C2与x轴交于点Q，C2上有与Q不重合的不同两点R（x1，y1）、S（x2，y2），且满足
QR
•
RS
=0，求点S的横坐标x2的取值范围．
分析：（1）设a=
3
k，b=
2
k（k＞0），所以椭圆C1的方程为
x2
3k2
+
y2
2k2
=1，由椭圆C1过点(
3
2
，
6
2
)，解得k=1，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）F1（-1，0），F2（1，0），所以直线l1的方程为x=-1，由|MP|=|MF2|，知点M的轨迹C2是以F2为焦点，直线l1为准线的抛物线，由此能求出轨迹C2的方程．
（3）Q（0，0），设R(
y
2
1
4
，y1)，S(
y
2
2
4
，y2)，所以
QR
=(
y
2
1
4
，y1)，
RS
=(
y
2
2
-
y
2
1
4
，y2-y1)，因为
QR
•
RS
=0，所以
y
2
1
(
y
2
2
-
y
2
1
)
16
+y1(y2-y1)=0，化简得y2=-(y1+
16
y1
)，由此能求出点S的横坐标的取值范围是[16，+∞）．
解答：解：（1）由已知，可设a=
3
k，b=
2
k（k＞0），
所以椭圆C1的方程为
x2
3k2
+
y2
2k2
=1，…（2分）
因为椭圆C1过点(
3
2
，
6
2
)，所以有
3
12k2
+
6
8k2
=1，解得k=1，…（3分）
所以椭圆C1的方程为
x2
3
+
y2
2
=1．…（4分）
（2）F1（-1，0），F2（1，0），所以直线l1的方程为x=-1，…（5分）
由题意，|MP|=|MF2|，所以点M的轨迹C2是以F2为焦点，直线l1为准线的抛物线，
所以轨迹C2的方程是y2=4x． …（10分）
（3）Q（0，0），设R(
y
2
1
4
，y1)，S(
y
2
2
4
，y2)，
所以
QR
=(
y
2
1
4
，y1)，
RS
=(
y
2
2
-
y
2
1
4
，y2-y1)，
因为
QR
•
RS
=0，所以
y
2
1
(
y
2
2
-
y
2
1
)
16
+y1(y2-y1)=0，…（12分）
因为y1≠y2，y1≠0，化简得y2=-(y1+
16
y1
)，…（15分）
所以
y
2
2
=
y
2
1
+
256
y
2
1
+32≥64，当且仅当
y
2
1
=
256
y
2
1
，y1=±4时等号成立．…（16分）
所以x2=
y
2
2
4
≥16，点S的横坐标的取值范围是[16，+∞）．…（18分）
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
练习册系列答案
相关题目
（2009•嘉定区二模）在棱长为2的正方体内放入一个球，则该球表面积的最大值为
4π
4π
．
（2009•嘉定区二模）在一个袋中装有10个小球，其中有7个白球，3个红球，它们除颜色外，大小、重量等都相同，从袋中取出3个小球，那么取出的球中至少有1个红球的概率等于
17
24
17
24
．（结果用分数表示）
（2009•嘉定区二模）直线l过抛物线y2=4x的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角θ≥
π
4
，则|FA|的取值范围是
(1，4+2
2
]
(1，4+2
2
]
．
（2009•嘉定区二模）已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a6-a4=4，a11=21，Sk=9，则k的值为（　　）
（2009•嘉定区二模）图1所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．图2是它的主视图和左视图（单位：cm）．
（1）在主视图下面按照三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照图2给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在图1中连接B1C，求异面直线EF和B1C所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网