Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）直线l₁过椭圆C₁的左焦点F₁，且与x轴垂直，动直线l₂垂直于直线l₂，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（III）设C₂上的两个不同点R、S满足

OR

•

RS

=0，求|

OS

|的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（I）由离心率为

3

3

，可得2a²=3b²，利用直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，可求b的值，从而可得椭圆方程；
（II）由|MP|=|NF₂|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线，以F₂为焦点的抛物线，从而可得轨迹C₂的方程；
（III）设出R，S的坐标，利用

OR

•

RS

=0，可得纵坐标之间的关系，利用基本不等式确定S纵坐标的范围，进而可求|

OS

|的取值范围．

解答：解：（I）由离心率为

3

3

，得

a2-b2

a2

=

1

3

，∴2a²=3b²，
∵直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b
∴b=

2

∴a=

3

，
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1            …（3分）
（II）由|MP|=|NF₂|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线，以F₂为焦点的抛物线．
∴轨迹C₂的方程是y²=4x                         …（6分）
（III）设R（

y12

4

，y₁），S（

y22

4

，y₂），则

OR

=（

y12

4

，y₁），

OS

=（

y22

4

，y₂），
∴

RS

=（

y22-y12

4

，y₂-y₁），
∵

OR

•

RS

=0，∴

y22-y12

4

×

y12

4

+y₁（y₂-y₁）=0，
∵y₂≠y₁，∴y₂=-（y₁+

16

y1

），
∵y22=（y₁+

16

y1

）²=y12+

256

y12

+32≥64，当且仅当y12=

256

y12

，即y₁=±4等号成立，…（9分）
∵|

OS

|=

1

4

(y22+8)2-64

，y22≥64，
∴当y22=64，即y₂=±8时，|

OS

|取得最小值8

5

，
∴|

OS

|的取值范围是[8

5

，+∞）                       …（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查抛物线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式，定型定量是关键．